猜大小引申出来的一些思考

　　引言

最近笔者常去的一家咖啡厅店庆，当天晚上所有饮料免费喝，小吃蛋糕随意吃，而且为了让参加店庆的顾客交流， 活跃气氛，店里还准备了各种游戏，譬如，德州扑克，筛子猜大小等等。笔者比较少玩类似的赌博游戏，色子猜大小也是第一次玩，结果三两次就把筹码输了个精光。站在旁边，看着漂亮 的小姐姐们玩的不亦乐乎，动不动就来个 1 赔 6，也是很有趣的。看着看着，笔者就觉得奇怪，猜大小的赔率分配挺有意思。这里解释一下，荷官的色盅里有三个色子，每次玩客可以根据台面指示进行投注，台面如下，不同的区域会有不同的赔率



现场赢得多的小姐姐一般都会押注从12 到 9 之间，虽然是 1 赔 6，相比押注其他区域，已经挺大的了，而且还 屡屡能中，真是奇怪。直觉上来看，每个色子掷出从 1 到 6 点是等概率的，为什么从 9 到 12 点钟的概率那么大，有点反直觉，而且 台面设置也是将这一区间设置的赔率相比其他区域赔率要低。于是，出于好玩的心理，笔者试着算了一下，并试着 对读者们进行一些科普，因为类似的随机变量的期望值计算在金融市场上的应用也是挺多的。

掷骰子的数学
简单起见，笔者这里以掷硬币为例，如果硬币是正常的，那么每次投掷硬币，硬币正反面的概率都是
, 于是，在投掷
次后，我们可以计算投掷硬币的总的期望值 (正面为 1， 反面为 0):



一般地，给定一个样本空间 S 和事件 A, 如果其满足I(A) = 1, if A happensI(A) = 0, if A not happens则称 A 为指示器随机变量。
对于投掷硬币，每次硬币出现正面或者反面，这样的事情无疑属于指示器随机变量，回到投掷色子，这样的事件一样是指示器随机变量，不过，此时，如果我们想要计算投掷 N 次色子，得到的总点数，就需要做一个简单变形， 即





如果色盅里有三个色子，三个色子彼此是独立的，每次摇色盅，相当于投掷三次色子，于是相应的期望值为 . 台面上与期望值 10.5 最接近的无疑是 9, 10, 11, 12, 当然，如果读者感兴趣的话，完 全可以计算色子投掷的标准差，计算起来也比较方便，利用 来计算。 笔 者偷懒，直接用 numpy 计算了
import numpy as np arr = np.arange(1, 7) print(arr.std()) print(10.5 - arr.std()) print(10.5 + arr.std())
考虑到大数定律，色子落在 9 ~ 12 的概率，大约到 60%，无疑，这样的概率已经很大的了，笔者在其他区域乱投注，输了也 是活该！


柏拉图的爱情麦园

其实在生活中，类似的场景还是挺多的，笔者当然不建议去赌博，赌博实在不是个好玩意，不过，赌博中用到的数学，博弈论，在现实生活中还是真不错。譬如，网上流程的关于柏拉图的麦园的故事。出于准确性的考量，笔者特意去寻找了下英文版故事的出处，结果发现该故事的真实性存疑，不过现在流传的如此之广，说明这样的故事还是挺值得品味的，笔者简单简单将故事描述如下：

有天，柏拉图问他的老师 (苏格拉底)：“老师，什么是爱情？我应该如何找寻她？” 苏格拉底回答他，“在我们前
面有一片麦田，你去穿过麦田，不能回头，从这片麦田中摘取一片你认为最大的麦穗，如果你能找到，意味着你
找到了爱情。”
柏拉图去麦田寻找最大的麦穗，不久后就回来了，两手空空。他的老师问他，“为何你没有摘取到任何麦穗？”巴拉
图说：“因为我只能选取一次，不能回头，我总担心后面后更大的麦穗，因此，最后什么都没有摘到。”

下面，让我们用理科生的思维去剖析一下这个问题。柏拉图在穿过麦园之前肯定不知道麦园中的麦穗是什么样的一个分布，因此，我们可以认为这是一个无先验分布的情形。
然后将问题简化一下，柏拉图肯定不可能一棵一课麦子的所有麦穗全部都看一遍，这样子累死他也看不完整片麦田。因此，我们索性假设每棵麦子有一颗代表性的麦子，柏拉图需要的是去寻找他能看到的最大的麦穗。
笔者这里先给出在类似情形下最佳策略，然后再引入证明，

最佳策略为直接拒掉前
颗麦穗，这
颗麦穗中最大的记为 Max，然后从第
颗麦穗开始，只要遇到 评分大于Max 的就选中，没有的话就选取最后一颗麦穗。假设一共有
颗麦穗，令
, 则当
趋于无穷的时候，


说明

其实，这里有一个问题，在结论中给出的是
, 当
, 而实际柏拉图并不知道
是多少，只能知道
是一个挺大的数，那么
到底有多大呢？其实，真的去算，依然很麻烦，笔者这里简单假设每亩产 500 斤小麦，平均每个小麦重0.005g , 于是，
估计为
, 这样算起来， 估计值就是
左右。数量级在千万级别，嗯，如果我是柏拉图，我还是得疯！！！


证明

这里笔者直接摘取知乎上某匿名答主的证明过程 [1]
最佳策略为拒掉前
个, 其中分数最高的记为
,然后从第
个开始如果遇到评分高于
的就选中.如果
号是最佳选择且被选中,那么其他
个次佳的都在前
个被拒者中。 然后根据条件概率展开可得:



我们的目标是使得这个概率最大化,也就是
, 先来估计近似解:令
趋近无穷大, 把
表示为
的极限, 令
为
, 则
为
, 原式可以近似为如下积分:



求导易得
时取得最大值.


推广

作为证明的一个结论，在生活中，当我们面临不可避免的选择的时候，有时帮助会很大，譬如，经常会有女生会问，我要经历过多少个臭男人才能找到真爱，同样，会有男生也会问，到底哪个妹纸才会值得我一生相伴。一个简单的计算，譬如，假如普通人预期最多谈十次恋爱的话，但是又不会真的去谈 10 次恋爱的时候，最简单的方式去前三个恋爱对象当积攒经验，第四个开始，如果比之前两个好，直接就嫁 (娶) 了吧。因为，

当然，笔者不建议大家如此轻易地去对待感情，而且，类似计算的理论值是当 才成立，奉劝所有 读者朋友，
1. 感情是大事，需要慎重对待
2. 远离赌博，利国利民！！！


量化中的应用引申

笔者公众号虽然叫做 “笨牛棚”，但是宣传的口号是量化技术的推广，扯了这么多，还是应该试着加入些量化的东东，那么，上面讲了那么多数学，有啥子用咧？
笔者想了下，嗯，现在 A 股 3500 多支股票，作为普通投资者肯定不可能去所有股票都买一遍，那么，一个简单
的问题，普通投资者买入多少支股票，可以选到自己最心仪的标的呢？或者，经常地，读者朋友们去做股票筛选，一下子筛选出了 100 支股票，但是自己资金又有限，可能只能选某一支股票买入，那么，最佳的策略是如何？
嗯，经过上面的简单论证，似乎答案会变得简单很多。直接将候选股票随机排列一番，然后除以 指数，然后直接拒绝前面 支股票，从第 支开始，只要盘中触发信号，那就买入。
譬如笔者之前介绍的五连阳的简单示例，似乎就可以这么用一下，时间和精力有限，笔者先落笔于此，下一篇笔者会介绍基于盘中分钟数据，实时更新跨周期全市场技术指标计算。感兴趣的朋友，可以提前留言讨论。

结语
最近笔者一直忙于其他事情，公众号更新并不及时，而且还欠了好些朋友一些答应过要做的事情，下周如果能把一应事情解决完毕，笔者会把之前填的坑，包括，自己去构建一个盘中技术指标更新并实现自己的择时系统，SVM在择股中的应用，阿尔法选股等都进行一些介绍。

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